Αρχικά διαλύστε τον κύβο μαγιάς σε μπολ, προσθέτοντας το χλιαρό νερό, 1 κουταλιά σούπας ζάχαρη και αλεύρι, τόσο ώστε να δημιουργηθεί μια αραιή ζύμη (περίπου 150 γρ.). Αφού ανακατέψετε πολύ καλά, σκεπάστε το μπολ και άφηστε το σε ζεστό μέρος για περίπου 20 λεπτά χωρίς να το μετακινήσετε, προκειμένου να ανέβει η ζύμη και να σχηματιστούν στην επιφάνεια φυσαλίδες.

Κατόπιν, λιώστε το βούτυρο σε ένα κατσαρολάκι σε πολύ χαμηλή φωτιά ή σε ένα μπεν μαρί, προσθέτοντας ζάχαρη και ανακατεύουντας καλά μέχρι να διαλυθεί με τη σειρά της και αυτή.

Στη συνέχεια, ρίξτε τα αυγά και ανακατέψτε καλά με σύρμα. Παράλληλα, χτυπήστε σε γουδί το μαχλέπι, τη μαστίχα και τα σποράκια (το εσωτερικό) κακουλέ με 1 κουταλιά της σούπας ζάχαρη και κοσκινίστε το αλεύρι σε λεκάνη. Έπειτα, προσθέστε τη μαγιά (που έχει γίνει πλέον) και το μείγμα από αυγό, βούτυρο και ζάχαρη. Κατόπιν, προσθέστε κακουλέ, μαχλέπι και μαστίχα και αρχίστε να ζυμώνετε μέχρι το σημεί που η ζύμη δεν θα κολλάει στα χέρια (πιθανόν να χρειαστεί να πασπαλίσετε λίγο αλεύρι επιπλέον).

Σκεπάστε το μπολ με τη ζύμη και αφήστε τη να διπλασιαστεί σε όγκο (διαδικασία που θα κρατήσει περίπου 1 ώρα αν βρίσκεται σε ζεστό σημείο). Όταν φουσκώσει η ζύμη, τη χωρίζετε σε τρία μέρη. Πλάθετε τρία φιτίλια, τα πλέκετε σε κοτσίδα. Έπειτα, βάζετε το μείγμα σε λαμαρίνα στρωμένη με λαδόκολλα και το σκεπάζετε εκ νέου για να φουσκώσει και να διπλασιαστεί σε όγκο. Επιπλέον, πριν το φουρνίσετε, το αλείφετε με χτυπημένο αυγό και νερό.